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Quadro degli sviluppi della  moderna teoria atomica

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E’ affascinante la serie di eventi, scoperte, teorie, formulate tra la fine del 19mo e gli inizi del 20mo secolo in merito alla struttura dell’atomo.

 

Ricordiamo brevemente alcuni punti fondamentali

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Atomo di Bohr     (N. Bohr, Phil.  Mag., 1913, 26, 1)

Il momemto angolare orbitale  dell'elettrone nell'atomo di H è quantizzato:

  mvr = n(h/2p)

Energie e raggi delle orbite circolari:

E = - hcRH/n2

r = n2 a0

Raggio di Bohr     a0 = 0.529 Å

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Louis de Broglie (1924)  A ogni particella è associata un'onda di lunghezza d'onda l,

p = mv =  h/l

 

h è la costante di Planck = 6.626 x 10-34 J s

 

Werner Heisenberg (1926)    

Principio di indeterminazione

 Dx Dp ³ ½(h/2p)

 

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Meccanica quantistica - Equazione delle onde materiali

Il concetto più importante della meccanica quantistica è che la materia ha proprietà ondulatorie. Così, un elettrone atomico è’ descritto da una funzione d'onda,  y, delle coordinate di posizione x, y, z della particella e del tempo t, e contiene tutta l'informa­zione che si può apprendere circa la particella.

Pubblicazioni del 1926 e 1927 di Heisenberg e Schrödinger sulla meccanica quantistica.

Dall'equazione classica delle onde stazionarie indipendenti dal tempo

Ñ2  y  =  -4p2/l2  y     con Ñ2 (Laplaciano)

 

utilizzando l’equazione di de Broglie l = h/p (delle onde materiali) si giunge all’ Equazione di Schrödinger

         

-(h2/8p2 m Ñ2 -V) y = Ey

 

H y = Ey         

 

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Quantizzazione dell'energia

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Particella nella scatola unidimensionale

 

Particella di massa m

regione unidimensionale di lunghezza L (asse x)

Potenziale V = 0  (all’interno), V = ¥ (all’esterno)

                 

 -(h2/8p2m) d2 y/dx2 + Vy =Ey

 l = 2L/n         n = 1, 2, . . .

Funzioni d’onda:

 y = sin 2px/l = sin npx/L

Dalla relazione di de Broglie:

p = h/l= nh/2L         n = 1, 2, . . .

 ma E = E(cinetica) quindi:

 E = p2/2m

 E =  n2h2/8mL2   n = 1,2, .....

 

 

 

Oscillatore armonico

 

Particella di massa m, soggetta all'azione di una forza di richiamo proporzionale al suo spostamento:

F = - kx (legge di Hooke)

 

k = costante di forza;   Potenziale V= ½ kx2

 

Le funzioni d'onda e le energie sono determinate da un solo numero quantico, v:

E = (v + ½ )hw/2p       v = 0, 1, 2, ....

con                                   w = (k/m) ½

 Livelli equidistanti:           DE = wh/2p

 Minima energia (v = 0)    E = ½hw/2p

 Energia di punto zero dell'oscillatore. 

 

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Atomi idrogenoidi (monoelettronici)

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Atomo o ione di numero atomico Z (Z = 1 per  H, Z  = 2 per He+ ecc.)

Equazione di Schödinger:  Hy = Ey

 -(h2/8p2 m Ñ2  + Ze2/4pe0r) y = Ey

Autovalori

       E =  -mZ2e4/8e02h2n2  

          n = 1, 2, ....

                           

Sostituendo i valori delle costanti:

          E = -13.6 eV x Z2/n2

 

I livelli coincidono con quelli del

modello di Bohr.

La Figura illustra i livelli di H e He.

 

Interpretazione di Born della y

 

Max Born  propone che

 y2  (o yy*) in un punto sia

proporzionale alla probabilità

di rinvenire la particella in

quel punto.

Deve valere:  ò yy* dt =1

 (funzioni d'onda normalizzate);  

N = Ö(1/ò yy* dt)

N = coeff. di normalizzazione

 

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Gli orbitali atomici

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Le funzioni d’onda y associate (autovettori) sono dette orbitali atomici  idrogenoidi (monoelettronici).

 Numeri quantici

Ciascun orbitale atomico idrogenoide è definìto da tre numeri quantici: n, l, e ml.

  n  = 1, 2, 3  ....                      numero quantico principale

  l =  0, 1, 2, ...... , n-1             numero quantico di   

                                                   momento angolare orbitale

 

                       l :    0   1    2   3   4   ...

                            s   p    d   f    g  ....

                                                             (derivano dalla spettroscopia)

  ml = l, l-1, l-2,....,-l                numero quantico magnetico

 

Conta degli orbítali

Numero di orbitali in uno strato n = n2; numero di orbitali in un sottostrato = 2l +1

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Momento angolare orbitale

momento angolare orbitale = Ö l(l+1)) h/2p

 

E’ uguale a 0 per gli orbitali s

e cresce col numero quantico l.

 

Si rappresenta con un vettore

di lunghezza (l(l+1))½ unità h/2p

la cui proiezione lungo un asse

arbitrario (z) vale ml unità h/2p

(quantizzazione spaziale)

 

 

 
 

 

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Lo spin elettronico

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Per definire compiutamente lo stato di un elettrone occorrono altri due numeri quantici che si riferiscono al momento angolare intrinseco dell'elettrone, il suo spin.

 

Numero quantico di momento angolare di spin

s = ½   (unico valore)

 

  momento angolare di spin = Ös(s+1)  h/2p

 A somiglianza del momento angolare orbitale, il momento angolare di spin può assumere solo determinate orien­tazioni rispetto ad un asse dato espresse dal numero quantico magnetico di spin ms

ms = s, s - 1 .., - s  

ms = + ½ e - ½

(«spin ↑») e («spin ↓»)

 

Lo stato dell'elettrone di un atomo idrogenoide è specificato da quattro numeri quantici: n, l, ml, ed ms (il quinto numero quantico s è  fissato a ½).